Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения

Раздел "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

1. Производной функции в точке x0 именуется предел дела приращения этой функции к приращению аргумента, при стремлении приращения аргумента к нулю.

Обозначения производной: .

По определению производной:

, (1)

либо, в других обозначениях:

(1)′

2. Операция нахождения производной данной функции именуется дифференцированием функции.Если существует конечный предел (1), то молвят, что функция дифференцируема Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения в данной точке (имеет производную).

3. Главные правила дифференцирования

Производная суммы (разности) 2-ух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций т.е.:

. (2)

Производная произведения 2-ух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение производной 2-ой функции на первую функцию, т.е.:

(3)

Следствие 1. Неизменный множитель можно выносить Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения за символ производной, т.е.:

. (4)

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из их на все другие, т.е.:

´ (5)

Производная личного 2-ух дифференцируемых функций определяется формулой:

где (6)

Таблица1.

4. Таблица производных главных простых функций

№п/п Производная №п/п Производная

5. Сложной функцией именуется функция Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения от функции, т.е. функция вида:

, (7)

где , ,

u ­ промежный аргумент, x – независящая переменная.

6.Аксиома. Если и – дифференцируемые функции собственных аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной этой функции по промежному аргументу на производную промежного аргумента по независящей переменной, т.е.:

(8)

6. Производная от первой производной функции именуется Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения 2-ой производной либо производной второго порядка и обозначается как либо .

По определению

. (9)

7. Производной n-ого порядка функции (n-й производной) именуется производная от (n – 1) –ой производной:

. (10)

8.Дифференциалом функции именуется основная линейная часть приращения функции .

Обозначение дифференциала – либо .

По определению

либо . (11)

Можно показать, что , тогда

. (11)′

Таким макаром, дифференциал функции численно равен произведению Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения производной этой функции на дифференциал независящей переменной.

9.Аксиома. Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a,b), при этом ( ) для , то эта функция увеличивается (убывает) на отрезке [a, b].

Таким макаром, символ производной позволяет найти, растет либо убывает функция в данном интервале:

если (функция растет Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения); (14)

если (функция убывает). (15)

10 Экстремумами именуют локальные максимумы и минимумы функции.

11. Аксиома. Нужный признак существования экстремума. Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю либо не существует.

12. Точки, в каких производная равна нулю либо не существует, именуются стационарными(либо критичными) точками производной.

13. Аксиома. 1-ый достаточный признак Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения существования экстремума. Если в точке x = x0 производная функции равна нулю и меняет символ при переходе через эту точку, то точка x0 является точкой экстремума, при этом:

x0 – точка максимума, если символ изменяется с плюса на минус;

x0 – точка минимума, если символ изменяется с минуса на плюс.

14. Аксиома. 2-ой достаточный Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения признак существования экстремума. Если в точке x0 1-ая производная функции обращается в нуль, а ее 2-ая производная отлична от нуля, то в точке x0 функция добивается экстремума (минимума, если y¢¢(x0)>0, и максимума, если y¢¢(x0)<0).

15. Аксиома. Если во всех точках интервала (a, b) 2-ая Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения производная функции отрицательна (положительна), то кривая на этом интервале выпукла (вогнута).

16. Точка кривой, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, именуется точкой перегиба кривой.

17. Нужное условие существования точки перегиба. Если кривая имеет перегиб в точке , то 2-ая производная функции в этой точке равна нулю либо не существует Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения.

18. Достаточное условие существования точки перегиба. Если в точке 2-ая производная обращается в нуль и меняет символ при переходе через нее, то – точка перегиба кривой .

19. Правило Лопиталя. Если функции и дифференцируемы в округи точки , обращаются в нуль в этой точке, и существует предел дела при , то существует и предел дела самих функций, равный Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения отношению производных, т.е.:

. (16)

Замечания:

- правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей типа либо .

- правило Лопиталя (16) справедливо и для варианта, когда .

- правило Лопиталя можно использовать повторно, пару раз.

Раздел "Интегральное исчисление функции одной переменной"

1.Интегрированием именуется действие, оборотное дифференцированию, т.е. действие, в итоге которого находится функция, производная которой Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения равна данной функции.

2. Функция именуется первообразной для данной функции , если для хоть какого x из области определения производится равенство:

, (17)

либо:

. (18)

3. Огромное количество всех первообразных для данной функции , где С воспринимает все вероятные числовые значения, именуется неопределенным интегралом от функции и обозначается эмблемой .

Таким макаром, по определению, неопределенный интеграл есть

= , (19)

где Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения C – случайная неизменная;

– первообразная для функции , т.е. функции и связаны соотношением (17): .

4. Главные характеристики неопределенного интеграла.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.:

. (20)

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.:

. (21)

Неопределенный интеграл от дифференциала некой функции равен самой функции с точностью до случайной неизменной C, т.е.:

= . (22)

Неизменный Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения множитель можно выносить за символ неопределенного интеграла, т.е.:

, (k ¹ 0). (23)

Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, к примеру, в случае 2-ух функций:

. (24)

Свойство инвариантности:

если = и ,

то:

= . (24)

Таблица 2.

5.Таблица главных интегралов [1]

№ п/п Интеграл № п/п Интеграл

6. Формула интегрирования Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения по частям:

, (25)

где , дифференцируемые функции.

7. Определенным интегралом от функции на отрезке [a,b] именуется конечный предел ее энной интегральной суммы, когда число простых отрезков неограниченно растет, а длина большего из их стремится к нулю.

Определенный интеграл обозначают эмблемой .

По определению:

. (26)

где – подынтегральная функция;

x – переменная интегрирования;

число – нижний Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения предел интегрирования;

число b – верхний предел интегрирования;

– отрезок интегрирования.

7. Формула Ньютона-Лейбница:

. (27)

где: есть какая-либо первообразная для подынтегральной функции [2].

8. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

. (28)

где , функции, имеющие непрерывные производные на отрезке .

9. Способ подмены переменной (способ подстановки) для вычисления определенного интеграла выражается формулой

, (29)

где: ;

, .

10. Дифференциальным уравнением именуется уравнение Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения, связывающее независимую переменную х, разыскиваемую функцию y = f(x) и ее производные .

Символическая запись дифференциального уравнения:

. (30)

11. Порядком дифференциального уравнения именуется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

12. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка именуется функция:

, (31)

зависящая от n случайных неизменных и удовлетворяющая дифференциальному уравнению при всех значениях .

13. Личным решением Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения дифференциального уравнения именуется неважно какая функция, приобретенная из общего решения при определенных числовых значениях случайных неизменных:

. (32)

14. Задачка отыскания личного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего данным исходным условиям, именуется задачей Коши.

15. Аксиома Коши (аксиома о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Если в уравнении функция и ее личная производная f¢y непрерывны Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения в некой области D, содержащей точку(х0, у0),то существует, и притом единственное, решение этого уравнения , удовлетворяющее условию:

(33)

Условие (33) есть изначальное условиедля дифференциального уравнения первого порядка.

Таким макаром, аксиома Коши утверждает, что существует, и притом единственное, решение задачки Коши.

3. Примерный вариант контрольной работы №2

Задание № 1
по теме "Дифференциальное исчисление Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения функции одной переменной"

1. Отыскать пределы функции при разных значениях a (не применяя правила Лопиталя):

y = ɑ = 2; ɑ = 1; ɑ ® ¥.

2. Вычислить производную функций:

1). ;

2).

3. Вычислить y' в точке x0 :

; x0 = – 5.

4. Отыскать экстремумы функции:

.

5. Отыскать наибольшее и меньшее значение функции y на отрезке
[– 4, 4]:

.

6. Вычислить , если:

y = ; ɑ = – 5.

Задание № 2
по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения"

1. Вычислить неопределенный интеграл:

.

2. Вычислить неопределенный интеграл:

.

3. Вычислить неопределенный интеграл:

.

4. Вычислить определенный интеграл:

.

5. Вычислить определенный интеграл

.

6. Вычислить определенный интеграл:

.

7. Решить дифференциальное уравнение:

.

8. Решить задачку Коши:

.

4. Решение примерного варианта КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание № 1
по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

Задачка 1.Отыскать пределы функции при разных значениях ɑ (не применяя правила Лопиталя):

y = ; ɑ = 2; ɑ = 1; ɑ ® ¥.

Решение

1. Разглядим случай, когда Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения ɑ = 2.

Вычислим предел, пользуясь аксиомами о границах:

.

2. Разглядим случай, когда ɑ = 1.

При числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В данном случае молвят, что мы имеем неопределенность типа и вычисление предела именуют раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности выполним тождественные преобразования – разложим числитель и знаменатель на множители:

;

.

Сократим дробь Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения на общий множитель ­ скобку

.

Функции и совпадают при всех значениях х, хороших от 1 (в округи точки х = 1), как следует, их пределы при равны:

.

3. Разглядим случай, когда ɑ ® ¥.

Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при , т.е. мы имеем неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на :

.

Ответ Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения: 1/6; 0; 1.

Задачка 2. Вычислить производную функций:

1). ;

2). .

Решение

1. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования (см.формулы (2) – (6)) и таблицей производных для главных простых функций (см. таб.1):

.

2. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования, таблицей производных и аксиомой о дифференцировании сложной функции (8):

Ответ:1) ; 2) .

Задачка 3. Вычислить y' в точке x0:

; x0 = – 5.

Решение

1. Пользуясь правилами дифференцирования Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения ((2) – (6)), найдем производную, как функцию от х:

=

= .

2. Вычислим производную в точке x0 = 5.

.

Ответ: .

Задачка 4.Отыскать экстремумы функции .

Решение

1. Найдем производную функции

.

2. Производная существует при всех значениях х. Найдем критичные точки производной из условия :

.

Решив квадратное уравнение

,

получим две критичные точки , .

3. Определим знаки производной слева и справа от критичных точек.

Просвет ( – , 2) (2, 4) (4, )
Символ + +
Функция

Символ производной изменяется Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения в критичных точках , , как следует, функция имеет в этих точках экстремумы, а конкретно: функция имеет максимум в точке (символ изменяется с + на – ) и минимум в точке (символ изменяется с – на +).

4. Определим значения функции в точках минимума и максимума, т.е. в точках , .

;

.

Ответ: , .

Задачка 5. Отыскать наибольшее и меньшее значение функции Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения на отрезке [– 4, 4].

Решение

1.Найдем экстремумы функции, лежащие снутри отрезка [– 4, 4].

Производная функции

.

Решив уравнение

,

найдем критичные точки

, .

Вычислим значения функции в критичных точках

; .

2. Вычислим значения функции на концах отрезка [– 4, 4].

; .

3. Сравнивая вычисленные значения функции, находим, что наибольшее значение функции на отрезке [– 4, 4] равно 40 и достигается в критичной точке , а меньшее значение равно –41 на конце отрезка Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения, в точке .

Ответ: ; .

Задачка 6. Вычислить предел , если:

y = ; ɑ = – 5.

Решение

При числитель и знаменатель данной дроби стремятся нулю, т.е. вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа и мы можем применить правило Лопиталя (16).

Вычисляя предел по правилу Лопиталя, получим

.

Ответ: .

Задание № 2
по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"

Задачка 1. Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Для вычисления Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения интеграла, воспользуемся качествами неопределенного интеграла ((20) – (24)) и таблицей интегралов (см. таб.2), за ранее представив подынтегральную функцию в виде суммы 3-х функций:

.

До этого, чем записать ответ, целенаправлено сделать проверку. Производная приобретенной в итоге интегрирования функции должна быть равна подынтегральной функции, т.е. должно производиться
соотношение (17).

Проверка: .

Ответ: .

Задачка 2. Вычислить неопределенный Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения интеграл .

Решение

1. 1-ый метод. Воспользуемся свойством инвариантности (24). Для этого за ранее вычислим дифференциал . Тогда и совсем получим

2. 2-ой метод. Используем способ подмены переменной (способ подстановки). Введем новейшую переменную

.

Вычислим дифференциал

,

тогда:

,

.

Вернемся к старенькой переменной (создадим оборотную подстановку)

.

Проверка:

.

Ответ: .

Задачка 3. Вычислить неопределенный интеграл .

Решение

Заметим, что в начальном интеграле

,

тогда, внося функцию под символ дифференциала Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения, получим

.

Проверка:

.

Ответ: .

Задачка 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение

Вычислим определенный интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница (27):

.

Подставляя пределы интегрирования, получим

.

Ответ:9.

Задачка 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

1. Найдем неопределенный интеграл , используя способ интегрирования по частям.

В формуле интегрирования по частям (25)

положим

; .

тогда

; ,

.

Применим интегрирование по частям к последнему интегралу:

.

Таким макаром,

,

откуда совсем получим

.

2. Вычислим начальный Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения определенный интеграл, подставляя пределы интегрирования в согласовании с формулой Ньютона-Лейбница (27):

Ответ: .

Задачка 6. Вычислить определенный интеграл

Решение.

Используем способ подмены переменной (29). Введем новейшую переменную:

,

вычислим

.

Определим новые пределы интегрирования из равенства :

при x = 1 получим ,

при x = 2 получим .

Меняя переменную и вычисляя интеграл по формуле
Ньютона-Лейбница (27), получим:

.

Ответ: .

Задачка Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения 7. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение.

Начальное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, выполняя последующую последовательность действий:

1. Представим в начальном уравнении производную в виде :

.

2. Умножим обе части уравнения на :

3. Разделим переменные, поделив обе части уравнения на :

.

4. Проинтегрируем обе части уранения:

,

[3]

Преобразуем приобретенное ввыражение

,

,

откуда получим общее решение уравнения:

Ответ: .

Задачка 8. Решить Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения задачку Коши:

;НУ: у (0) = –3.

Решение

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения. Потому что уравнение является простым, то его решение находится интегрированием функции, стоящей в правой части уравнения:

.

2. Найдем значение случайной неизменной С, соответственное личному решению дифференциального уравнения, подставляя в общее решение изначальное условие у = –3, х = 0:

.

3. Запишем личное решение дифференциального уравнения Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения, удовлетворяющее данным исходным условиям. Для этого подставим отысканное значение случайной неизменной С= –3 в общее решение уравнения:

.

Создадим проверку:

.

Ответ: .

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ СЛУШАТЕЛЕЙ ЗАЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ВАРИАНТ № 1

Задание № 1

1. Отыскать пределы функции при разных значениях ɑ (не применяя правила Лопиталя):

y = ɑ = 2; ɑ = 3; ɑ ® ¥.

2. Вычислить производную функций:

1). ;

2). .

3. Вычислить y' в точке Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения x0 :

; x0 = 5.

4. Отыскать экстремумы функции:

.

5. Отыскать наибольшее и меньшее значение функции y на отрезке [0, 7]:

6. Вычислить , используя правило Лопиталя:

; ɑ = 1.

Задание № 2

1. Вычислить неопределенный интеграл

2. Вычислить неопределенный интеграл

3. Вычислить неопределенный интеграл .

4. Вычислить определенный интеграл

5. Вычислить определенный интеграл

6. Вычислить определенный интеграл

7. Решить дифференциальное уравнение

8. Решить задачку Коши: , .

ВАРИАНТ № 2

Задание № 1

1. Отыскать пределы функции при разных значениях Основные ФОРМУЛЫ, термины и определения ɑ (не применяя правила Лопиталя):

ɑ = 0; ɑ = 2; ɑ ® ¥.

2. Вычислить производную функций:

1).

2).

3. Вычислить y' в точке x0 :

; x0 = – 5.

4. Отыскать экстремумы функции:

5. Отыскать наибольшее и меньшее значение функции y на отрезке [2, 5]:

6. Вычислить , используя правило Лопиталя:

; ;


stat.txt
osnovnie-etiologicheskie-faktori.html
osnovnie-faktori-effektivnosti-antikorrupcionnoj-politiki-doklad-ob-effektivnosti-provodimih-v-rossijskoj-federacii.html